ノート

回転体の体積

f(x)とx=a,b, およびy=0 (x軸)で囲まれた図形をy軸周りに回転させるときにできる立体の体積Vを求めよう。

図のようにy軸から計ってxの位置にdxの幅を持つ短冊が回転するものとする。短冊の高さはf(x)である。回転すると円環となるが、これを一周切り取って開くと下に示すような図となる。

個の薄い直方体の体積dVは

であるから、これをaからbまで積分すると、回転体の体積が求まることになる。したがって、

である。ここで、重心のx座標が次のように表されることを思い出そう。

ここにAは断面図形の面積である。これを先の体積の式に代入すると、

である。なお、2πxgは、重心のx座標までを半径とした円の円周を表す。つまり、重心の一周する距離(周長)に断面の面積を掛けると回転体の体積が求まるのである。

団扇の柄を持った位置から重心(ほぼ中心)までの距離を長くすると、団扇の面積が同じにもかかわらず、動かせる空気の体積量は多いということになる。これは魚の尾ひれ形状とその運動に通じるものである。

関連記事

  1. ストローでジュースを飲む
  2. ジェットエンジン、発電プラントの原動機(ブライトンサイクル)
  3. 熱エネルギーから仕事を取り出す
  4. カルノーサイクルの効率
  5. 連立1次方程式を係数拡大行列を使って表現する
  6. エンタルピー
  7. 水蒸気
  8. 空力騒音

カレンダー

2023年4月
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930

最近のノート

PAGE TOP